题目内容
（09年临沂高新区实验中学质检）（12分）
设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*,都有a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2，其中Sn为数例{an}的前n项和．
（1）求证：an2＝2Sn－an；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn＝3n＋（－1）n－1λ?2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有bn＋1>bn成立．
解析：（1）由已知，当n＝1时，a13＝a12,
又∵a1>0,∴a1＝1． 1分
当n≥2时，a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2①
a13＋a23＋a33＋…＋an－13＝Sn－12② 2分
由①②得，an3＝（Sn－Sn－1）（Sn－Sa－1）（Sa＋Sa－1）＝an（Sn＋Sn－1）．
∵an>0,∴an2＝Sn＋Sn－1,
又Sn－1＝Sa－aa,∴an2＝2Sn－an． 3分
当n＝1时，a1＝1适合上式．
∴an2＝2Sn－an． 4分
（2）由（1）知，an2＝2Sn－an,③
当n≥2时，an－12＝2Sn－1－an－1,④ 5分
由③④得，an2－an－12＝2（Sn－Sn－1）－an＋an－1＝an＋an－1． 6分
∵an＋an－1>0,∴an－an－1＝1,数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1． 7分
∴an＝n． 8分
（3）∵an＝n．,∴bn＝3n＋（－1）n－1λ?2n．
要使bn＋1>bn恒成立，
bn＋1－bn＝3n＋1－3n＋（－1）nλ?2n＋1－（－1）n－1λ?2n
＝2×3n－3λ（－1）n－1?2n>0恒成立， 9分
即（－1）n－1λ<（
）n－1恒成立．
。当n为奇数时，即λ<（）n－1恒成立．
又（）n－1的最小值为1．∴λ<1． 10分
。当n为偶数时，即λ>－（）恒成立，
又－（）n－1的最大值为－，∴λ>－． 11分
即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，
∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有bn＋1<bn． 12分
，当
时，
只有一个实数根；当
3个相异实根，现给出下列4个命题：
有2个极值点； ②函数
=0有一个相同的实根 ④