Question

某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数f（n）（万件）近似地满足下列关系：f(n)=

1

90

n(n+2)(18-n) ， n=1 ，2 ， 3 ， …， 12
（1）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？
（2）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）

Answer 1

分析：（1）首先求出第n个月的月需求量，根据需求量超过1.3万件建立等式关系，可求出所求；
（2）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：na-f（n）≥0，将a分离出来，利用基本不等式可求出a的最值．

解答：解：（1）首先，第n个月的月需求量=

f(1)，n=1 f(n)-f(n-1)，2≤n≤12

∵f(n)=

1

90

n(n+2)(18-n)，
∴f(1)=

17

30

＜1.3．
当n≥2时，f(n-1)=

1

90

(n-1)(n+1)(19-n)
∴f(n)-f(n-1)=

1

90

(-3n2+35n+19)
令f（n）-f（n-1）＞1.3，即-3n²+35n+19＞117，解得：

14

3

＜n＜7，
∵n∈N，∴n=5，6
即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件．
（2）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：na-f（n）≥0，
∴a≥

f(n)

n

=

(n+2)(18-n)

90

又∵

(n+2)(18-n)

90

≤

1

90

[

(n+2)+(18-n)

2

]2=

10

9

∴a≥

10

9

即每月初至少要投放

10

9

万件即11112件商品，才能保证全年不脱销．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．