题目内容

已知函数 $数学公式$ ，m为正整数．
（I）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1-x）的值；
（II）若数列{a_n}的通项公式为 $数学公式$ （n=1，2，…，m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（III）设数列{b_n}满足： $数学公式$ ，b_n+1=b_n²+b_n，设 $数学公式$ ，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于3的正整数n， $数学公式$ 恒成立，试求m的最大值．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ =1；
f（x）+f（1-x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1；（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =1，∴a_k+a_m-k=1，
由S_m=a₁+a₂+a₃++a_m-1+a_m，①
得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3++a₁+a_m，②
由①+②，得2S_m=（m-1）×1+2a_m，
∴ $\text{[math]}$ ，（10分）

（Ⅲ）∵ $\text{[math]}$ ，b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），∴对任意的n∈N*，b_n＞0．
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵b_n+1-b_n=b_n²＞0，∴b_n+1＞b_n，∴数列{b_n}是单调递增数列．
∴T_n关于n递增．当n≥3，且n∈N₊时，T_n≥T₃．
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，∴m＜650.5．而m为正整数，
∴m的最大值为650．（14分）
分析：（Ⅰ）由函数值的求法令x=1，x=0直接求解f（1）+f（0）；先求得f（1-x）再求解f（x）+f（1-x）．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ =1，从而有a_k+a_m-k=1，然后由倒序相加法求解．
（Ⅲ）将b_n+1=b_n²+b_n=b_n（b_n+1），取倒数转化为： $\text{[math]}$ ，从而有 $\text{[math]}$ ．
然后用错位相消法求得 $\text{[math]}$ ．
再由s_m构造 $\text{[math]}$ 恒成立，用最值法求解．
点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数求值及规律，数列的通项，前n项和及倒序相加法，裂项相消法求和等问题，属于难题．