题目内容
设函数
．
（1） 讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；
（3）令
，试证明：
．
．（1） 讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；
（3）令
，试证明：．解：（I）函数的定义域为R， 由于f'（x）=1﹣
≥0，知
f（x）是R上的增函数．
（II）令g（x）=g（x）﹣ax3=x﹣ln（x+
）﹣ax3．则
g'（x）=
，
令h（x）=
，则
h'（x）=
，
（1）当a≥
时，h'（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，
因h（0）=0，则x≥0时，h（x）≤0，也即g'（x）≤0，
进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，
注意g（0）=0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，
（2）当0＜a＜
时，在[0，
]，h'（x）＞0，
从而x∈[0，
]时，也即f（x）＞ax3，
（3）当a≤0时，h'（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，
综合，实数a的取值范围[
，+∞）．
（III）在（II）中取a=
，则
x∈[0，
]，时，x﹣ln（x+
）＞
x3，即 
x3+ln（x+
）＜x，
令x=（
）2n，则
＜（
）2n，
∴
≥0，知f（x）是R上的增函数．
（II）令g（x）=g（x）﹣ax3=x﹣ln（x+
）﹣ax3．则g'（x）=
，令h（x）=
，则h'（x）=
，（1）当a≥
时，h'（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）=0，则x≥0时，h（x）≤0，也即g'（x）≤0，
进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，
注意g（0）=0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，
（2）当0＜a＜
时，在[0，]，h'（x）＞0，从而x∈[0，
]时，也即f（x）＞ax3，（3）当a≤0时，h'（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，
综合，实数a的取值范围[
，+∞）．（III）在（II）中取a=
，则x∈[0，
]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即 x3+ln（x+）＜x，令x=（
）2n，则＜（）2n，∴
练习册系列答案
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，
的奇偶性；
，
.
的单调性；
，使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；
，都有
成立，求实数
的取值范围.
。
，求a的取值范围。
,函数
．
的单调区间和极值;
和
是函数
的值并证明:
．