Question

（2006•东城区三模）某厂有一台价值为1万元的生产设备，现要通过技术改造来提高该生产设备的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入金额x万元之间满足：①y与（1-x）和x²的乘积成正比；②当x=

1

2

时，y=

1

2

．并且技术改造投入的金额满足；

x

2(1-x)

∈（0，t]，其中t为常数．
（1）求y=f（x）的解析式及定义域；
（2）当t∈（0，2]时，求产品的增加值的最大值及相应的技术改造投入的金额．

Answer 1

分析：（1）根据条件①设出函数解析式，然后根据条件②可求出解析式，根据

x

2(1-x)

∈（0，t]求出x的取值集合即为函数的值域；
（2）欲求函数的最值，就需研究函数的单调性，故先利用导数求出函数的极值，然后讨论t的范围，求出函数的最值即可．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）由已知，设y=f（x）=k（1-x）x²．
∵当x=

1

2

时，y=

1

2

，即

1

2

=k×

1

2

×

1

4

，∴k=4．
则f（x）=4（1-x）x²=-4x³+4x²．…（4分）
∵0＜

x

2(1-x)

≤t，解得0＜x≤

2t

2t+1

．
∴f（x）的定义域为{x|0＜x≤

2t

2t+1

}…（6分）
（2）∵f（x）=-4x³+4x²．x∈{x|0＜x≤

2t

2t+1

}…（…（8分）
令f′(x)=0，则x=0(舍去)，x=

2

3

∵0＜x≤

2t

2t+1

＜1，
当0＜x＜

2

3

时，f'（x）＞0，∴f(x)在(0，

2

3

)上单调递增；
当

2

3

＜x＜1时，f'（x）＜0，∴f(x)在(

2

3

，1)上单调递减．…（10分）
∴当x=

2

3

时，f（x）取得极大值．
∵t∈（0，2]．
∴当

2t

2t+1

≥

2

3

，即1≤t≤2时，ymax=f(

2

3

)=

16

27

．
∴当

2t

2t+1

＜

2

3

，即0＜t＜1时，ymax=f(

2t

2t+1

)=

16t2

(2t+1)3

．
综上，当1≤t≤2时，投入

2

3

万元，最大增加值是

16

27

万元．当0＜t＜1时，投入

2t

2t+1

万元，最大增加值是

16t2

(2t+1)3

万元．…（14分）

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了分离讨论的数学思想，属于中档题．