Question

直线y=k（x-a）（a＞0）与抛物线y²=2px相交于A、B两点，F（a，0）为焦点，若点P的坐标为（-a，0），则（ ）
A．∠APF＜∠BPF
B．∠APF＞∠BPF
C．∠APF=∠BPF
D．以上均有可能

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，tan∠APF=，tan∠BPF=-，联立直线方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，通过作差由韦达定理可得tan∠APF-tan∠BPF=0，从而tan∠APF=tan∠BPF，再由两角的范围可得∠APF=∠BPF．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，y₂＜0，
由得k²x²-（2ak²+2p）x+k²a²=0（k≠0），
则 ，，
tan∠APF=，tan∠BPF=-，
 因为tan∠APF-tan∠BPF==
=
===0，
所以tan∠APF=tan∠BPF，
又∠APF与∠BPF均为锐角，
所以∠APF=∠BPF，
故选C．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，解决本题的关键是建立两角正切值与直线斜率的关系，通过作差可利用韦达定理解决问题．