题目内容
已知某二次函数f（x）图象过原点，且经过（-1，-5）和（2，4）两点，（Ⅰ）试求f（x）函数的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在区间[3，7]上的单调性，并用单调函数的定义进行证明．
【答案】分析：（Ⅰ）求f（x）函数的解析式，由于函数性质已知故可用待定系数法设出其解析式，再代入（-1，-5）和（2，4）两点，求参数．
（Ⅱ）判断f（x）在区间[3，7]上的单调性，并用单调函数的定义进行证明，故此题解题过程是先判断再证明，由二次函数的性质判断出结果再利用定义法证明即可．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）过原点，设f（x）=ax2+bx，
由题意，图象经过（-1，-5）和（2，4）两点∴
解得：
f（x）=-x2+4x
（Ⅱ）函数f（x）在[3，7]上为单调递减函数
证明：任取x1＜x2∈[3，7]f（x1）-f（x2）=（-x12+4x1）-（-x22+4x2）=（x22-x12）+（4x1-4x2）=（x2+x1）（x2-x1）+4（x1-x2）=（x2-x1）（x2+x1-4）x1＜x2∈[3，7]，x2+x1＞6，x2-x1＞0∴（x2+x1-4）＞0∴f（x1）-f（x2）=（x2-x1）（x2+x1-4）＞0∴f（x1）＞f（x2），而x1＜x2∈[3，7]∴函数f（x）在[3，7]上为单调递减函数
点评：本题考查待定系数法求函数的解析式及利用定义证明函数的单调性，是函数中对性质考查的基本题型，尤其是第二问要注意解题的格式，先判断，再证明．
（Ⅱ）判断f（x）在区间[3，7]上的单调性，并用单调函数的定义进行证明，故此题解题过程是先判断再证明，由二次函数的性质判断出结果再利用定义法证明即可．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）过原点，设f（x）=ax2+bx，
由题意，图象经过（-1，-5）和（2，4）两点∴
解得：
f（x）=-x2+4x（Ⅱ）函数f（x）在[3，7]上为单调递减函数
证明：任取x1＜x2∈[3，7]f（x1）-f（x2）=（-x12+4x1）-（-x22+4x2）=（x22-x12）+（4x1-4x2）=（x2+x1）（x2-x1）+4（x1-x2）=（x2-x1）（x2+x1-4）x1＜x2∈[3，7]，x2+x1＞6，x2-x1＞0∴（x2+x1-4）＞0∴f（x1）-f（x2）=（x2-x1）（x2+x1-4）＞0∴f（x1）＞f（x2），而x1＜x2∈[3，7]∴函数f（x）在[3，7]上为单调递减函数
点评：本题考查待定系数法求函数的解析式及利用定义证明函数的单调性，是函数中对性质考查的基本题型，尤其是第二问要注意解题的格式，先判断，再证明．
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