Question

已知g（x）是对数函数，且它的图象恒过点（e，1）．f（x）是二次函数，且不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），且f（0）=3．
（1）求g（x）的解析式
（2）求f（x）的解析式；
（3）求y=f（x）-g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）待定系数法：设g（x）=log_ax，由函数图象过点（e，1），可得方程，解出a即可；
（2）待定系数法：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3可得c，由f（x）＞0的解集是（-1，3），可得-1，3是方程f（x）=0的两根，由此可得方程组，解出a，b即可；
（3）表示出y=f（x）-g（x），求出导数，然后解不等式y′＞0，y′＜0即得单调区间，注意函数定义域；

解答：解：（1）设g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），
由g（x）的图象过点（e，1），得1=log_ae，解得a=e，
所以g（x）=lnx；
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=3，得c=3，则f（x）=ax²+bx+3，
又f（x）＞0的解集是（-1，3），
所以-1、3是方程f（x）=0，即ax²+bx+3=0的两根，
所以

-1×3= 3 a -1+3=- b a

，解得

a=-1 b=2

，
所以y=f（x）=-x²+2x+3；
（3）y=f（x）-g（x）=-x²+2x+3-lnx（x＞0），
y′=-2x+2-

1

x

=-

2x2-2x+1

x

，
对于x＞0恒有y′＜0，
所以y=f（x）-g（x）的单调递减区间为（0，+∞）．

点评：本题考查函数单调性的判断及证明，考查函数解析式的求解及常用方法，属中档题．