Question

2013年国庆黄金周旅游市场依旧火爆．一旅行社为某旅行团包机旅游，其中旅行社的包机费15000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团人数不超过35人，飞机票每张800元；若旅行团人数多于35人，则给予如下优惠：每多1人，每张机票减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人，记旅行团人数为x，每个人的机票钱为y元．
（1）写出y与x的关系式．
（2）当旅行团人数为57人时，旅行社获得的利润Q是否为最大利润？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800，当35＜x≤60时，y=800-10（x-35）=-10x+1150，由此能求出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；
（2）旅行社获得的利润Q=机票钱y×旅行团人数x-包机费，列出利润Q的函数关系式，根据分段函数的解析式，分两段分别求解每一段的最大值，最后两段最大值进行比较，即可确定答案．

解答：解：（1）∵旅游团人数为x人，每一个人机票y元，
∴当1≤x≤35时，y=800，
当35＜x≤60时，y=800-10（x-35）=-10x+1150，
∴y=

800(0＜x≤35，x∈N) 1150-10x 35＜x≤60 x∈N

，
（2）∵利润Q=机票钱y×旅行团人数x-包机费，
∴Q=

800x-15000，(1≤x≤35，x∈N) -10x2+1150x-15000，(35＜x≤60，x∈N)

，
①当1≤x≤35，x∈N时，Q=800x-15000为单调递增函数，
∴当x=35时，Q取得最大值为Qmax=800×35-15000=13000；
②当35＜x≤60，x∈N时，Q=-10x²+1150x-15000，
对称轴为x=57.5，
又∵x∈N，
∴当x=57或x=58时，Q取得最大值为Qmax=18060，
∴当人数为57或58人时利润最大，
∴当旅行团人数为57人时旅行社获得的利润是最大的．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．属于中档题．