Question

平面内到定点（1，0）和到定点（4，0）的距离的比为的点的轨迹为曲线M，直线l与曲线M相交于A，B两点，若在曲线M上存在点C，使，且，求直线l的斜率及对应的点C的坐标．

Answer 1

【答案】分析：设曲线C上的任意一点P（x，y），利用平面内到定点（1，0）和到定点（4，0）的距离的比为，可得，从而可求曲线C的方程；利用，且，可得，，从而可求直线l的斜率，设C（x，y），利用，可求对应的点C的坐标为．
解答：解：设曲线C上的任意一点P（x，y），则，
化简可得曲线C的方程为x²+y²=4．…（4分）
∵，且
∴，
∵
∴                                  …（8分）
设C（x，y），由，解得或
∴直线l的斜率为，对应的点C的坐标为或．…（12分）
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查向量知识的运用，考查直线的斜率，解题的关键是掌握轨迹方程的一般求法．