题目内容

已知点P是圆O:x2+y2=3上动点,以点P为切点的切线与x轴相交于点Q,直线OP与直线x=1相交于点N,若动点M满足:
NM
OQ
QM
OQ
=0
,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若过点F(2,0)的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点A,B,设
AF
FB
,问在x轴上是否存在定点E,使得
OF
⊥(
EA
EB
)
?若存在,求出点E的坐标,若不存在,说明理由.
(1)设点M的坐标为(x,y),相应的点P的坐标为(x0,y0),则x02+y02=3,
直线PQ的方程为:x0x+y0y=3,所以点Q的坐标为(
3
x0
,0)

直线OP的方程为:y=
y0
x0
x
,所以点N的坐标为(1,
y0
x0
)

因此:
x=
3
x0
y=
y0
x0

即:
x0=
3
x
y0=
3y
x

所以曲线C的方程为:
(
3
x
)2+(
3y
x
)2=3

x2
3
-
y2
1
=1

(2)设存在定点E(t,0)使得
OF
⊥(
EA
EB
)

设直线AB的方程为:x=my+2(m≠0),点A(x1,y1),B(x2,y2
AF
FB
得到-y1=λy2
λ=-
y1
y2

EA
EB
=(x1-t-λx2+λt,  y1y2)
OF
⊥(
EA
EB
)
得到:x1-t=λ(x2-t)?x1-t=-
y1
y2
(x2-t)

即:(my1+2-t)y2+y1(my2+2-t)=0,
即2my1y2+(2-t)(y1+y2)=0(1)
由方程组:
x=my+2
x2
3
-y2=1

得到:(my+2)2-3y2=3,
即(m2-3)y2+4my+1=0,
所以:m2-3≠0,且y1+y2=
-4m
m2-3
y1y2=
1
m2-3

代入(1)式得到:
2m
m2-3
+
(t-2)4m
m2-3
=0

要对满足(m≠0)且m2-3≠0的实数m恒成立,
只需要2+(t-2)×4=0,即t=
3
2

所以存在定点E(
3
2
,0)
使得
OF
⊥(
EA
EB
)
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