题目内容
已知、
,椭圆C的方程为
,
、
分别为椭圆C的两个焦点,设
为椭圆C上一点,存在以
为圆心的
与
外切、与
内切
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点作斜率为
的直线与椭圆C相交于A、B两点,与
轴相交于点D,若
求
的值;
(Ⅲ)已知真命题:“如果点T()在椭圆
上,那么过点T
的椭圆的切线方程为=1.”利用上述结论,解答下面问题:
已知点Q是直线上的动点,过点Q作椭圆C的两条切线QM、QN,
M、N为切点,问直线MN是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由。
【答案】
本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想
解:(Ⅰ)依题意可知,P与
外切、
内切. 设
P的半径为
,则
-----------------------------------2分
, 2
=4,2
=
=2
=2,c=1 , 椭圆C的方程为
+
=1 ------------------------4分
(Ⅱ)直线AB:y=k(x-1),由
,令A
,则
,
, ------------------------------------6分
∵
∴,
∵2=,
,
------------------------------------8分
2+
=
= , ∴
.
-----------------------10分
(Ⅲ)设Q(),M(
),N(
)
则切线QM:
切线QN:
∴ ∴M、N在直线
上
∴ 直线MN:------------------------------------12分
又
∴直线MN必过定点(). ------------------------------------13分

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