题目内容
已知椭圆C：
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为e．直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点．设
．
(1)证明λ＝1－e2；
(2)确定λ的值，使得ΔPF1F2是等腰三角形．
答案：
解析：
解析：
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解：(1)证法一：因为A、B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点．所以A、B的坐标分别是( 这里c＝ 由 即 证法二：因为A、B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是( 所以 因为点M在椭圆上，所以 即 e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0， 解得e2＝1－λ，即λ＝1－e2． (2)解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角．要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|、即 设点F1到l的距离为d，由 得 即当λ＝ 解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|． 设点P的坐标(x0，y0)，则 由|PF1|＝|F1F2| 得[ 从而e2＝ 即当λ＝1－e2＝ |
，0)，(0，a)．由
得
，所以点M的坐标是(－c，
)．
得(
，
，a)
，解得λ＝1－e2．
，y0)＝λ(
，a)．
＝1．
＝1，所以
＝1．
|PF1|＝c．
|PF1|＝d＝
＝c，
＝e，所以e2＝
．于是λ＝1－e2＝
．
解得
]2＋[
]2＝4c2，两边同时除以4a2，化简得
＝e2．
练习册系列答案
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＝1(a＞b＞0)的离心率e＝
，左、右焦点分别为F1、F2，点P(2，
)，点F2在线段PF1的中垂线上．
＝1(a＞b＞0)，⊙O：x2＋y2＝b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．
＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝
，短轴长为2．
与直线QA2相交于点M（2x0，y0）．
＝1(a＞b＞0)的右准线l的方程为x＝
，短轴长为2．
与直线QA2相交于点M（2x0，y0）．
＝1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M(
，2)．