Question

已知下列命题：
①若，则按平移后的坐标为（-5，5）；
②已知M是△ABC的重心，则；
③周长为的直角三角形面积的最大值为；
④在△ABC中，若，则△ABC是等边三角形．
其中正确的序号是（将所有正确的序号全填在横线上）    ．

Answer 1

【答案】分析：①据向量的可平移性得到平移后的向量的坐标，
②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=BC，利用三角形法则用向量 和 表示即可．
③因为L=a+b+c，c=，两次运用均值不等式即可求解；或者利用三角代换，转化为三角函数求最值问题．
④利用正弦定理，求出sinA=sinB=sinC，推出△ABC是等边三角形．
解答：解：①∵
∵向量是可平移的，平移后只改变起点、中的位置，不改变向量的坐标
∴平移后的坐标为（3，4），故错；
②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=BC，
由三角形法则 ===
=
故正确；
③直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，周长L为，面积为s，
a+b+=L≥2 +．
∴≤．
∴S=ab≤（ ）²
=•[]²=L²=．故正确；
④∵由正弦定理 ==，得sinA=sinB=sinC，
∴A=B=C⇒a=b=c，则△ABC是等边三角形，正确．
故答案为：②③④．
点评：本题考查向量的性质：向量是可以平移的，平移后与原向量相等；考查向量的三角形法则、平面向量基本定理和向量的表示；考查利用均值不等式解决实际；考查三角函数与正弦定理的应用，考查计算能力逻辑推理能力，常考题型．