题目内容
袋中装有20个不同的小球,其中有n(n∈N*,n>1)个红球,4个蓝球,10个黄球,其余为白球.已知从袋中取出3个颜色相同的彩球(不是白球)的概率为
.
(Ⅰ)求袋中的红球、白球各有多少个?
(Ⅱ)从袋中任取3个小球,求其中一定有红球的概率.
解:(I)设“从袋中任取3球全心红球”、“从袋中任取3球全为蓝球”、“从袋中任取3球全黄球”分别为事件A,B,C,由题意知,A,B,C两两互斥,则
.…(4分)
故从袋中取出成3个都是相同颜色彩球(不是白球)的概率为
,
∴
.…(6分)
由此得出袋中取3球不可能全为红球,从而n≤2,又n∈N*,n>1,故n=2.
故袋中有2个红球4个白球 …(8分)
(II)设“从袋中任取3个小球,其中一定有红球”为事件D,则
.
故从袋中任取3个小球,一定有红球的概率为
.…(14分)
分析:(I)设“从袋中任取3球全心红球”、“从袋中任取3球全为蓝球”、“从袋中任取3球全黄球”分别为事件A,B,C,由题意知,A,B,C两两互斥,先求出P(B) 和P(C)的值,根据 P(A)+P(B)+P(C)=
,求出P(A),从而得到n的值及白球的数量.
(Ⅱ)所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率.它的对立事件为:从袋中任取3个小球,其中一定没有
红球.
点评:本题主要考查等可能事件的概率,互斥事件的概率加法公式,所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率.

故从袋中取出成3个都是相同颜色彩球(不是白球)的概率为

∴

由此得出袋中取3球不可能全为红球,从而n≤2,又n∈N*,n>1,故n=2.
故袋中有2个红球4个白球 …(8分)
(II)设“从袋中任取3个小球,其中一定有红球”为事件D,则

故从袋中任取3个小球,一定有红球的概率为

分析:(I)设“从袋中任取3球全心红球”、“从袋中任取3球全为蓝球”、“从袋中任取3球全黄球”分别为事件A,B,C,由题意知,A,B,C两两互斥,先求出P(B) 和P(C)的值,根据 P(A)+P(B)+P(C)=

(Ⅱ)所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率.它的对立事件为:从袋中任取3个小球,其中一定没有
红球.
点评:本题主要考查等可能事件的概率,互斥事件的概率加法公式,所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率.

练习册系列答案
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(本小题满分12分)
一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球,分别标有不同的数字2,3,4,,现从袋中随机摸出2个球,并计算摸出的这2个球上的数字之和,记录后将小球放回袋中搅匀,进行重复试验。记A事件为“数字之和为7”.试验数据如下表
摸球总次数 |
10 |
20 |
30 |
60 |
90 |
120 |
180 |
240 |
330 |
450 |
“和为7”出现的频数 |
1 |
9 |
14 |
24 |
26 |
37 |
58 |
82 |
109 |
150 |
“和为7”出现的频率 |
0.10 |
0.45 |
0.47 |
0.40 |
0.29 |
0.31 |
0.32 |
0.34 |
0.33 |
0.33 |
(参考数据:)
(Ⅰ)如果试验继续下去,根据上表数据,出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近。试估计“出现数字之和为7”的概率,并求的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设定一种游戏规则:每次摸2球,若数字和为7,则可获得奖金7元,否则需交5元。某人摸球3次,设其获利金额为随机变量元,求
的数学期望和方差。