Question

已知椭圆C：=1的两个焦点的坐标分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点P在椭圆上，=0且△PF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和△PF₁F₂的外接圆D的方程；
（Ⅱ）A为椭圆C的左顶点，过点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点，且M、N均不在x轴上，设直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，c=1，2a+2=6，所以a=2，c=1
又a²=b²+c²，所以，椭圆C的方程为
因为，所以，可求得P或P，
所以Rt△PF₂F₁的外接圆D的方程是或．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）得M，N，
可得，，所以．
当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，显然k≠0，
则直线l的方程为y=k（x-1），
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）将y=k（x-1）代入方程，
并化简得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
可得：x₁，，
所以==
综上，．
分析：（Ⅰ）根据焦点的坐标可求得c，进而根据三角形的周长求得a，则b可求得，进而求得椭圆C的方程，利用推断出两直线垂直，求得P的坐标，则Rt△PF₂F₁的外接圆D的方程可求得．
（Ⅱ）先看当直线的斜率不存在时，求得M，N则两直线的斜率可得，求得K₁K₂的值；再看斜率存在时，设出直线的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，代入到K₁K₂中，最后综合答案可得．
点评：本题主要考查圆、直线与椭圆的位置关系等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力．