题目内容
如图所示,四棱锥P—ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
(1)详见解析,(2)详见解析,(3)
【解析】
试题分析:(1)证明线面平行,往往从线线平行出发. 因为是的中点,所以取PD的中点,则ME为三角形PCD的中位线,根据中位线的性质,有,又,所以四边形为平行四边形,因此∥,(2)存在性问题,往往从假定出发,现设N点位置,这提示要利用空间向量设点的坐标,空间向量解决线面垂直问题的关键在于表示出平面的法向量,也可利用线面垂直的性质,即垂直平面中两条相交直线,由及解得,是的中点(3)求线面角,关键在于作出平面的垂线,此时可利用(2)的结论,即MN为平面的垂线;另外也可继续利用空间向量求线面角,即直线与平面所成角的正弦值为余弦值的绝对值.
试题解析:解(1)是的中点,取PD的中点,则
,又
四边形为平行四边形
∥,平面,平面
∥平面 ..(4分)
(2)以为原点,以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,,
在平面内设,,, 由
由
是的中点,此时平面 (8分)
(3)设直线与平面所成的角为
,,设为
故直线与平面所成角的正弦为 (12分)
考点:线面平行及垂直的判定,空间向量的应用
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