题目内容

如图所示,四棱锥PABCD中,ABADCDADPA底面ABCDPA=AD=CD=2AB=2MPC的中点。

(1)求证:BM∥平面PAD

(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD

(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

 

1)详见解析,(2)详见解析,(3

【解析】

试题分析:(1)证明线面平行,往往从线线平行出发. 因为的中点,所以取PD的中点,则ME为三角形PCD的中位线,根据中位线的性质,有,又,所以四边形为平行四边形,因此,(2)存在性问题,往往从假定出发,现设N点位置,这提示要利用空间向量设点的坐标,空间向量解决线面垂直问题的关键在于表示出平面的法向量,也可利用线面垂直的性质,即垂直平面中两条相交直线,由解得,是的中点(3)求线面角,关键在于作出平面的垂线,此时可利用(2)的结论,即MN为平面的垂线;另外也可继续利用空间向量求线面角,即直线与平面所成角的正弦值为余弦值的绝对值.

试题解析:解(1的中点,取PD的中点,则

,又

四边形为平行四边形

平面,平面

∥平面 ..4分)

2)以为原点,以 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图,则

在平面内设

的中点,此时平面8分)

3)设直线与平面所成的角为

,设

故直线与平面所成角的正弦为12分)

考点:线面平行及垂直的判定,空间向量的应用

 

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