Question

求下列函数的定义域、值域及单调性．
（1）y=（

1

2

）6+x-2x²；
（2）y=（

2

3

）^-|x|．

Answer 1

分析：（1）由题令u=6+x-2x²，则y=（

1

2

）^u．则函数为单调递减的指数函数，u为二次函数，则求出u的最大值得到y的最小即可求出值域，定义域为R，u的对称轴求出，在对称轴左边函数增函数，右边为减函数，在根据复合函数求出y的单调区间即可；
（2）y为指数函数定义域为R，且为单调递减，|x|最小值为0，分x大于0，小于0，等于0以及y为偶函数讨论函数的单调区间即可．

解答：解：（1）函数的定义域为R，
令u=6+x-2x²，则y=（

1

2

）^u．
∵二次函数u=6+x-2x²=-2（x-

1

4

）²+

49

8

，
∴函数的值域为{y|y≥（

1

2

）

49

8

}．
又∵二次函数u=6+x-2x²的对称轴为x=

1

4

，
在[

1

4

，+∞）上u=6+x-2x²是减函数，
在（-∞，

1

4

]上是增函数，又函数y=（

1

2

）^u是减函数，
∴y=（

1

2

）6+x-2x²在[

1

4

，+∞）上是增函数，
在（-∞，

1

4

]上是减函数．
（2）定义域为x∈R．
∵|x|≥0，∴y=（

2

3

）^-|x|=（

3

2

）^|x|≥（

3

2

）⁰=1．
故y=（

2

3

）^-|x|的值域为{y|y≥1}．
又∵y=（

2

3

）^-|x|是偶函数，
且y=（

2

3

）^-|x|=

( 3 2 )x(x≥0) ( 2 3 )x(x＜0)

所以函数y=（

2

3

）^-|x|在（-∞，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．

点评：考查函数理解函数定义域即求法的能力，以及掌握指数函数的单调性与特殊点，求指数函数的定义域和值域的能力．