Question

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2．  
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出c，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可；
（2）首先对f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1求导，可得f'（x）=10x³-9x，令f′（x）＞0解之即可求出函数的单调递增区间．

解答：解：（1）f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），则c=1，
f'（x）=4ax³+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）
切点为（1，-1），则f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（1，-1），
得a+b+c=-1，得a=

5

2

，b=-

9

2

f（x）=

5

2

x4-

9

2

x²+1（8分）
（2）f'（x）=10x³-9x＞0，-

3 10

10

＜x＜0，或x＞

3 10

10

单调递增区间为（，-

3 10

10

，0），（

3 10

10

，+∞）（12分）

点评：本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．