题目内容

设m∈R，已知函数f（x）=-x²-2mx²+（1-2m）x+3m-2，若曲线y=f（x）在x=0处的切线恒过定点P，则点P的坐标为________．

（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
分析：欲求曲线y=f（x）在x=0处的切线恒过定点P，须先求出切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
解答：f（x）=-x³-2mx²+（1-2m）x+3m-2，f′（x）=-3x²-4mx+（1-2m）．
因为f（0）=3m-2，f′（0）=1-2m，
所以曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y-（3m-2）=（1-2m）（x-0），
即m（2x-3）+（y-x+2）=0．
由于 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
故切线恒过定点P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
故答案为：（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．