Question

下面四个不等式：
（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）a（1-a）≤；
（3）+≥2；
（4）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
其中恒成立的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：作差，进而可以因式分解，从而得到完全平方式，故可证（1）（4），根据基本不等式可证（2），（3）可利用取特殊值进行判定．
解答：（1）a²+b²+c²-ab-ac-bc
=（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=[（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（a²-2ac+c²）]
=[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]≥0，故恒成立；
（2）a（1-a）≤=，故恒成立；
（3）当a=1，b=-1时，不等式不成立，故不恒成立；
（4）∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-（a²c²+b²d²+2acbd）
=a²d²+b²c²-2acbd=（ad-bc）²≥0则（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，故恒成立；
故选C．
点评：本题主要考查了基本不等式的证明，以及配方法的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．