Question

某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

中学	A	B	C	D
人数	30	40	20	10

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；
（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列．

Answer 1

解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为．
∴应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15，20，10，5．
（2）设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，
从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有=1225种，
这两名学生来自同一所中学的取法共有=350．
∴=．
∴从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率为．
（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．
依题意得，ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P

分析：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．据此即可计算出答案；
（2）利用组合的意义分别计算出从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的方法和这两名学生来自同一所中学的取法，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．可得ξ的可能取值为0，1，2．利用超几何分布的概率计算公式P（ξ=k）=（k=0，1，2），即可得到分布列，利用数学期望的概率计算公式即可得出．
点评：本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识．