Question

(理)如果有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_n(n为正整数)满足条件a₁=a_n,a₂=a_n-1,…,a_n=a₁,即a_i=a_n-i+1(i=1,2,…,n),我们称其为“对称数列”.例如,由组合数组成的数列,,…,就是“对称数列”.

(1)设{b_n}是项数为7的“对称数列”,其中b₁,b₂,b₃,b₄是等差数列,且b₁=2,b₄=11.依次写出{b_n}的每一项.

(2)设{c_n}是项数为2k-1(正整数k＞1)的“对称数列”,其中c_k,c_k+1,…,c_2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列.记{c_n}各项的和为S_2k-1,当k为何值时,S_2k-1取得最大值?并求出S_2k-1的最大值.

(3)对于确定的正整数m＞1,写出所有项数不超过2m的“对称数列”,使得1,2,2²,…,2^m-1依次是该数列中连续的项;当m＞1 500时,求其中一个“对称数列”前2 008项的和S₂₀₀₈.

(文)如果有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_m(m为正整数)满足条件a₁=a_m,a₂=a_m-1,…,a_m=a₁,即a_i=a_m-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.

(1)设{b_n}是7项的“对称数列”,其中b₁,b₂,b₃,b₄是等差数列,且b₁=2,b₄=11.依次写出{b_n}的每一项;

(2)设{c_n}是49项的“对称数列”,其中c₂₅,c₂₆,…,c₄₉是首项为1,公比为2的等比数列,求{c_n}各项的和S;

(3)设{d_n}是100项的“对称数列”,其中d₅₁,d₅₂,…,d₁₀₀是首项为2,公差为3的等差数列,求{d_n}前n项的和S_n(n=1,2,…,100).

Answer 1

答案：(理)解：(1)设{b_n}的公差为d,则b₄=b₁+3d=2+3d=11,解得d=3,

∴数列{b_n}为2,5,8,11,8,5,2.

(2)S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1=2(c_k+c_k+1+…+c_2k-1)-c_k,

S_2k-1=-4(k-13)²+4×13²-50,∴当k=13时,S_2k-1取得最大值,

S_2k-1的最大值为626.

(3)所有可能的“对称数列”是:

①1,2,2²,…,2^m-2,2^m-1,2^m-2,…,2²,2,1;

②1,2,2²,…,2^m-2,2^m-1,2^m-1,2^m-2,…,2²,2,1;

③2^m-1,2^m-2,…,2²,2,1,2,2²,…,2^m-2,2^m-1;

④2^m-1,2^m-2,…,2²,2,1,1,2,2²,…,2^m-2,2^m-1.

对于①,当m≥2 008时,S₂₀₀₈=1+2+2²+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1.

当1 500＜m≤2 007时,

S₂₀₀₈=1+2+…+2^m-2+2^m-1+2^m-2+…+2^2m-2009=2^m-1+2^m-1-2^2m-2009=2^m+2^m-1-2^2m-2009-1.

对于②,当m≥2 008时,S₂₀₀₈=2²⁰⁰⁸-1.当1 500＜m≤2 007时,S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1.

对于③,当m≥2 008时,S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008.当1 500＜m≤2 007时,S₂₀₀₈=2^m+2^2009-m-3.

对于④,当m≥2 008时,S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008.当1 500＜m≤2 007时,S₂₀₀₈=2^m+2^2008-m-2.

(文)解：(1)设数列{b_n}的公差为d,则b₄=b₁+3d=2+3d=11,解得d=3,∴数列{b_n}为2,5,8,11,8,5,2.

(2)S=c₁+c₂+…+c₄₉=2(c₂₅+c₂₆+…+c₄₉)-c₂₅=2(1+2+2²+…+2²⁴)-1=2(2²⁵-1)-1=2²⁶-3=67 108 861.

(3)d₅₁=2,d₁₀₀=2+3×(50-1)=149.由题意得d₁,d₂,…,d₅₀是首项为149,公差为-3的等差数列.

当n≤50时,S_n=d₁+d₂+…+d_n=149n+(-3)=n²+n.

当51≤n≤100时,S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+(d₅₁+d₅₂+…+d_n)

=3 775+2(n-50)+×3=n²n+7 500.

综上所述,S_n=