题目内容
将圆周四等分，A是其中的一个分点，规定动点P在四个分点上按逆时针方向前进．现掷一个写有数字1，2，3，4的质地均匀的正四面体，动点P从点A出发，按照正四面体底面上所投掷的点数前进（数字为n就前进n步），动点P在转一周之前将继续投掷，转一周或超过一周则停止投掷．
（1）求点P恰好返回A点的概率；
（2）在动点P转一周恰好返回A点的所有结果中，用随机变量X来表示动点P返回A点时投掷正四面体的次数，求X的分布列和数学期望．
（1）求点P恰好返回A点的概率；
（2）在动点P转一周恰好返回A点的所有结果中，用随机变量X来表示动点P返回A点时投掷正四面体的次数，求X的分布列和数学期望．
分析：（1）分类讨论，分别求出能返回A点的概率，即可得到结论；
（2）求出X=1，2，3，4对应的概率，可得分布列与期望．
（2）求出X=1，2，3，4对应的概率，可得分布列与期望．
解答：解：（1）投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为
，则：
①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为P1=
；
②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，其概率为P2=（
）2×3=
；
③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，其概率为P3=（
）3×3=
；
④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为P4=（
）4=
；
则能返回A点的概率为：P=P1+P2+P3+P4=
；
（2）能返回A点的所有结果共有（1）中所列8种，则：
P（X=1）=
，P（X=2）=
，P（X=3）=
，P（X=4）=
其分布列为：
所以，期望E（X）=1×
+2×
+3×
+4×
=
（次）
| 1 |
| 4 |
①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为P1=
| 1 |
| 4 |
②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，其概率为P2=（
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，其概率为P3=（
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 64 |
④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为P4=（
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 256 |
则能返回A点的概率为：P=P1+P2+P3+P4=
| 125 |
| 256 |
（2）能返回A点的所有结果共有（1）中所列8种，则：
P（X=1）=
| 1 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
其分布列为：
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
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