Question

如果函数y=a^2x+2a^x-1(a＞0且a≠1)在［-1，1］上有最大值14，试求a的值.

Answer 1

设t=a^x，则原函数可化为y=(t+1)²-2，对称轴为t=-1.
(1)若a＞1，∵x∈［-1，1］，
∴-1＜≤t≤a.
∵t=a^x在［-1，1］上递增，
∴y=(t+1)²-2当t∈［，a］时也递增.
∴原函数在［-1，1］上递增.
故当x=1时，y_max=a²+2a-1.
由a²+2a-1=14，解得a=3或a=-5(舍去，因a＞1).
(2)若1＞a＞0，可得当x=-1时，y_max=a^-2+2a^-1-1=14，
解得a=或a=- (舍去).
综上，a=或3.

将原函数看成是二次函数和指数函数合成的复合函数，利用相应函数的性质及复合函数的单调性解题.可采用换元法.