题目内容

已知(
3x
-
1
2
3x
)
2n
展开式中偶数项二项式系数的和比(1+x)n展开式的各项系数和大112.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)在(1)的条件下,求(1-x)2n展开式中系数最大的项;
(Ⅲ)在(1)的条件下,求(
3x
-
1
2
3x
)
2n
展开式中的所有的有理项.
(1)由题意可得 22n-1=2n=112,22n-2•2n-224=0,解得 n=4.…..(4分)
(2)由n=4,(1-x)2n =(1-x)8,从而,(1-x)8展开式中系数最大的项是:T5=
C48
(-x)4=70x4.  …(8分)
(Ⅲ)设有理项为第r+1项,则 Tr+1=
Cr8
(-
1
2
)
r
x
r
3
=(-
1
2
)
r
Cr8
x
8-2r
3
,∴
8-2r
3
∈z
0r≤8 ,  r∈z

8-2r
3
=k 则,r=4-
3
2
k,∴k=-2,0,2,即 r=1,4,7.
所以第2项,第5项,第8项为有理数,它们分别是 T2=-
1
2
C18
•x2=-4x2,T5=(-
1
2
)
4
C48
•x0=
35
8

T8=(-
1
2
)
7
C78
•x-2.…..13 分
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