Question

标准正态分布的概率密度函数是P(x)=·(x∈R).

（1）求证：P（x）是偶函数；

（2）求P（x）的最大值；

（3）利用指数函数的性质说明P（x）的增减性.

Answer 1

（1）证明略（2）（3）当x＜0时，P(x)递增.当x＞0时，P（x）递减.

解析:

（1）证明  对任意x∈R，有P(-x)=

==P(x),∴P(x）为偶函数.

（2）解  令t=,当x=0时，t=0,e^t=1.

∵e^t是关于t的增函数，当x≠0时，t＞0，e^t＞1.

∴当x=0，即t=0时，=e^t取最小值.

∴当x=0时，P（x）=取得最大值.

(3)解  任取x₁＜0，x₂＜0，且x₁＜x₂,

有＞,∴＜.

∴P(x₁)＜P(x₂),即当x＜0时，P(x)递增.

又P(x)为偶函数，由偶函数性质得，当x＞0时，P（x）递减.