Question

已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值.

(2)若，求的最小值；

(3)在(Ⅱ)上求证：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或.

（Ⅱ）函数在上单调递减，在上单调递增；

（Ⅲ）当 

。。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）的定义域为，，根据题意有，

所以解得或.          4分

（Ⅱ）

当时，因为，由得，解得，

由得，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增；    8分

（Ⅲ）由（2）知，当a>0, 的最小值为

令  

当 

。     13分

考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值及不等式的证明。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得到证明不等式。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。