题目内容

若函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d．
（1）当a=d=-1，b=c=0时，若函数f（x）的图象与x轴所有交点的横坐标的和与积分别为m，n．
（i）求证：f（x）的图象与x轴恰有两个交点；
（ii）求证：m²=n-n³．
（2）当a=c，d=1时，设函数f（x）有零点，求a²+b²的最小值．

解：（1）（i）当a=d=-1，b=c=0时，f（x）=x⁴-x³-1
∴f'（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），
所以 $\text{[math]}$ 是使f（x）取到最小值的唯一的值，且在区间 $\text{[math]}$ 上，函数f（x）单调递减；
在区间 $\text{[math]}$ 上，函数f（x）单调递增．
因为 $\text{[math]}$ ，f（-1）＞0，f（2）＞0，
所以f（x）的图象与x轴恰有两个交点．
（ii）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则f（x）有因式（x-x₁）（x-x₂）=x²-mx+n，
且可令f（x）=（x²-mx+n）（x²+px+q）．
于是有（x²-mx+n）（x²+px+q）=x⁴-x³-1．（*）
分别比较（*）式中常数项和含x³的项的系数，得nq=-1，p-m=-1，
解得 $\text{[math]}$ ，p=m-1．
所以x⁴-x³-1= $\text{[math]}$ ．①
分别比较①式中含x和x²的项的系数，得 $\text{[math]}$ ，…②，
$\text{[math]}$ ，③
②×m+③×n得-n+n³+m²=0，即n-n³=m²．
∴m²=n-n³．
（2）方程化为： $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，方程为t²+at+b-2=0，|t|≥2，即有绝对值不小于2的实根．
设g（t）=t²+at+b-2=0（|t|≥2），
当 $\text{[math]}$ ，即a＞4时，只需△=a²-4b+8≥0，此时，a²+b²≥16；
当 $\text{[math]}$ ，即a＜-4时，只需△=a²-4b+8≥0，此时，a²+b²≥16；
当 $\text{[math]}$ ，即-4≤a≤4时，只需（-2）²-2a+b-2≤0或2²+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，此时 $\text{[math]}$ ．
∴a²+b²的最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）（i）先求出函数的导函数，然后根据导数符号确定函数的单调性，再根据 $\text{[math]}$ ，f（-1）＞0，f（2）＞0结合根的存在性定理可证得结论；
（ii）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则f（x）有因式（x-x₁）（x-x₂）=x²-mx+n，且可令f（x）=（x²-mx+n）（x²+px+q），于是有（x²-mx+n）（x²+px+q）=x⁴-x³-1，分别比较该式中常数项和含x³的项的系数，以及含x和x²的项的系数，消去p与q可证得结论；
（2）方程化为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，方程为t²+at+b-2=0，|t|≥2，即有绝对值不小于2的实根，设g（t）=t²+at+b-2=0（|t|≥2），讨论对称轴与区间[-2，2]的位置关系，然后建立不等关系，解之即可求出所求．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．