Question

一个公差不为零的等差数列{a_n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项．记{a_n}各项和的值为S．
（1）求S （用数字作答）；
（2）若{b_n}的末项不大于

S

2

，求{b_n}项数的最大值N；
（3）记数列{c_n}，c_n=a_nb_n（n∈N*，n≤100）．求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d（d≠0），由已知可得（5+3d）²=5（5+15d），从而可求d，a_n，及S
（2）由已知可求等比数列的公比q及通项公式，而bn≤

S

2

?2n≤5050，可求n的最大值．再由又b_n+1＞b_n，可得b1＜b2＜…b12≤

S

2

，n≥13时bn＞

S

2

，可求N
（3）由（1）（2）可求C_n，然后考虑利用错位相减进行求和即可

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d（d≠0），
由b₁，b₃，b₅成等比数列，得b₃²=b₁b₅ 
即（5+3d）²=5（5+15d）⇒d=5．
所以a_n=5n （n∈N*，n≤100 ）
S=5•100+

100•99

2

5=25250 （6分）
（2）由b₁=5，b₃=20⇒q²=4（q＞0），
所以q=2，b_n=5•2^n-1 
由bn≤

S

2

?2n≤5050，
所以n的最大值为12．又b_n+1＞b_n，
所以b1＜b2＜…b12≤

S

2

，n≥13时bn＞

S

2

，所以N=12．（12分）
（3）c_n=25n•2^n-1，

Tn=25(1+2•2+3• 22+…+n•2n-1) 2Tn=25[2+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n]

两式相减得-T_n=25（1+2+•2²+…+2^n-1-n•2ⁿ）=25[（1-n）2ⁿ-1]
T_n=25[（n-1）2ⁿ+1]（n∈N*，n≤100）（16分）

点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的性质的综合应用，这是高考在数列部分的考查重点试题类型，而数列中求解最大（小）项的方法长结合数列的单调性进行处理．