题目内容

2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化．
（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a₁= $数学公式$ ，经过n年后绿化的面积为a_n+1，试用a_n表示a_n+1；
（2）求数列{a_n}的第n+1项a_n+1；
（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%．（lg2=0.3010，lg3=0.4771）

解：（1）设现有非绿化面积为b₁，经过n年后非绿化面积为b_n+1．
于是a₁+b₁=1，a_n+b_n=1．
依题意，a_n+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a_n减去被非绿化部分 $\text{[math]}$ a_n后剩余的面积 $\text{[math]}$ a_n，
另一部分是新绿化的面积 $\text{[math]}$ b_n，于是
a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ b_n= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ （1-a_n）
= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ ．
（2）a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ ，a_n+1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a_n- $\text{[math]}$ ）．
数列{a_n- $\text{[math]}$ }是公比为 $\text{[math]}$ ，首项a₁- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 的等比数列．
∴a_n+1= $\text{[math]}$ +（- $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ．
（3）由题意得到a_n+1＞60%，
$\text{[math]}$ +（- $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ＞ $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）ⁿ＜ $\text{[math]}$ ，
n（lg9-1）＜-lg2，
n＞ $\text{[math]}$ ≈6.5720．
至少需要7年，绿化率才能超过60%．
分析：（1）当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积，设出现有非绿化面积和经过n年后的绿化面积，得到两个数列之间的关系，把组成a_n+1的两部分写出来，得到递推式．
（2）根据所给的数列的递推式，凑出一个等比数列，根据等比数列的首项和公比，写出这个数列的通项．
（3）由题意知本题需要解a_n+1＞60%，代入数列的通项，要求的变量在指数位置，这种题目一般需要两边取对数，根据所给的两个特殊的对数值，得到结果，根据实际意义得到n的整数．
点评：本题考查等比数列的通项，考查由数列的递推式求数列的通项式，考查解关于对数式的不等式，考查用数列知识解决实际问题．