题目内容

设f（x）=g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞]，则g（x）x，|x|＜1的值域是（ ）
A．[-∞，-1]∪[1，+∞]
B．[-∞，-1]∪[0，+∞]
C．[0，+∞]
D．[1，+∞]
【答案】分析：根据二次函数值域[0，+∞），求出a、b、c满足的条件，然后根据二次函数的性质求出g（x）的值域从而求出g（x）x，|x|＜1的值域．
解答：解：∵f（x）=g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞），
∴设f（x）=ax2+bx+c，a＞0，b2-4ac≥0
∵f（g（x））的值域是[0，+∞），g（x）是二次函数
∴g（x）≥0，而|x|＜1
g（x）x，|x|＜1的值域是[0，+∞）
故选C．
点评：本题主要考查了复合函数的值域问题，同时考查了函数g（x）x在[-1，1]上的值域等有关基础知识，属于基础题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设f（x）=
a
•
b
，
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），x∈R．
（I）若f（x）=0且x∈[-
π
3
，
π
3
]，求x的值
（II）g（x）=cos（ωx-
π
3
）+k与f（x）的最小正周期相同，g（x）经过（
π
6
，2），求g（x）的值域以及单调增区间．
已知函数f（x）=2x2-（k2+k+1）x+15，g（x）=k2x-k，其中k∈R．
（1）设p（x）=f（x）+g（x），若p（x）在（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；
（2）设函数q(x)=
g(x)x≥0
f(x)x＜0
是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）=q（x1）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x≥1，f（x）≥1时，有f[f（x）]=x，求证：f（x）=x．
设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x≥1，f（x）≥1时，有f[f（x）]=x，求证：f（x）=x．

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