Question

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润f(x)=

1(1≤x≤20，x∈N*) 1 10 x(21≤x≤60，x∈N*)

（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率g(x)=

第x个月的利润

第x个月前的资金总和

，例如：g(3)=

f(3)

81+f(1)+f(2)

．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

Answer 1

分析：（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知g(10)=

f(10)

81+f(1)+f(2)+…+f(9)

= 

1

90

（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入g(x)=

第x个月的利润

第x个月前的资金总和

即可．
（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式a+b≥2

ab

(a＞0，b＞0，且a=b时取“=“)可得，解答如下：

解答：解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1
g（x）=

f(10)

81+f(1)+…+f(9)

=

1

81+1+…+1

=

1

90

．
（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x-1）=f（x）=1
∴g（x）=

f(x)

81+f(1)+…+f(x-1)

=

1

81+1+…+1

=

1

81+(x-1)

=

1

x+80

．
当21≤x≤60时，
g（x）=

f(x)

81+f(1)+…+f(20)+f(21)+…+f(x-1)

=

1 10 x

81+1+…+1+f(21)+…f(x-1)

=

1 10 x

81+20+ 21 10 +…+ x-1 10

=

1 10 x

101+ 1 2 ( 21 10 + x-1 10 )(x-21)

=

1 10 x

101+ (x-21)(x+20) 20

=

2x

x2-x+1600

∴当第x个月的当月利润率
g(x)=

1 x+80 (1≤x≤20，x∈N*) 2x x2-x+1600 (21≤x≤60，x∈N*)

；
（3）当1≤x≤20时，g(x)=

1

x+80

是减函数，
此时g（x）的最大值为g(1)=

1

81

当21≤x≤60时，
g(x)=

2x

x2-x+1600

=

2

x+ 1600 x -1

≤

2

2 1600 -1

=

2

79

当且仅当x=

1600

x

时，即x=40时，
g(x)max=

2

79

，又∵

2

79

＞

1

81

，
∴当x=40时，g(x)max=

2

79

所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为

2

79

．

点评：本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．