Question

如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D、处，问此时船距岛A有多远？

Answer 1

【答案】分析：（1）先Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=30°+60°=90°，最后利用勾股定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．
（2）利用sin∠DCA=sin（180°-∠ACB）=sin∠ACB求得sin∠DCA的值，利用sin∠CDA=sin（∠ACB-30°）=sin∠ACB•cos30°-cos∠ACB•sin30°求得sin∠CDA的值，进而利用正弦定理求得AD．
解答：解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，∴AB=．
在Rt△PAC中，∠APC=30°，
∴AC=．
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，
∴BC===．
则船的航行速度为÷=2（千米/时）．
（2）在△ACD、中，∠DAC=90°-60°=30°，
sin∠DCA=sin（180°-∠ACB）=sin∠ACB===，
sin∠CDA=sin（∠ACB-30°）
=sin∠ACB•cos30°-cos∠ACB•sin30°
=•-
=．

由正弦定理得=．
∴AD===．
故此时船距岛A有千米．
点评：本题组要考查正弦定理和余弦定理的灵活运用．考查考生运用数学知识解决实际问题的能力．