Question

（理）（1）求证：mC

m n

=nC

m-1 n-1

，（m，n∈N^*，n≥m≥2）；
（2）现共有4男生，3女生排成一排，
①女生不站在两端，共有多少种排法；
②男生都排在一起，共有多少种排法；
③女生互不相邻，共有多少种排法；
④男生A，B不相邻，男生C，D要相邻，共有多少种排法．

Answer 1

分析：（1）利用组合数的计算公式即可证明；
（2））①特殊位置优先考虑：先选2名男生排在两头并且可以交换位置有

A

2 4

种方法，剩下的2名男生与3名女生全排列可有

A

5 5

种方法，由分步乘法原理即可求出；
②相邻用捆绑法：男生都排在一起可以交换位置有

A

4 4

种方法，与3名女生全排列有

A

4 4

种方法，由分步乘法原理即可求出；
③不相邻用插空法：先把4名男生排好但是可以交换位置有

A

4 4

种方法，而4名男生之间的3个空隙加上两边共有5个空隙，选出3个插入3名女生可有

A

3 5

种方法，由分步乘法原理即可得出；
④相邻用捆绑法、不相邻用插空法：把2名C，D男生捆绑成一个元素但是可以交换位置与3名女生全排列有

A

2 2

A

4 4

种方法，把2名男生A，B插入上述4个元素之间及其两边共5个空隙中可有

A

2 5

种方法，由分步乘法原理即可得出．

解答：（1）证明：左边=

m A m n

m!

=

A m n

(m-1)！

，右边=

n A m-1 n-1

(m-1)!

=

A m n

(m-1)!

．
∴左边=右边．
（2）解：①先选2名男生排在两头并且可以交换位置有

A

2 4

种方法，剩下的2名男生与3名女生全排列可有

A

5 5

种方法，由分步乘法原理共有

A

2 4

A

5 5

=1440种方法；
②男生都排在一起可以交换位置有

A

4 4

种方法，与3名女生全排列有

A

4 4

种方法，由分步乘法原理共有

A

4 4

A

4 4

=576种方法；
③先把4名男生排好但是可以交换位置有

A

4 4

种方法，而4名男生之间的3个空隙加上两边共有5个空隙，选出3个插入3名女生可有

A

3 5

种方法，由分步乘法原理共有

A

4 4

A

3 5

=1440种方法；
④把2名C，D男生捆绑成一个元素但是可以交换位置与3名女生全排列有

A

2 2

A

4 4

种方法，把2名男生A，B插入上述4个元素之间及其两边共5个空隙中可有

A

2 5

种方法，由分步乘法原理共有

A

2 2

A

4 4

A

2 5

=960种方法．

点评：熟练掌握排列与组合数的计算公式、特殊位置优先考虑、相邻用捆绑法、不相邻用插空法等是解题的关键．