Question

已知点D在定线段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若（

MA

+λ

MB

）•（

MA

-λ

MB

）=0，且λ∈[2-

3

，2+

3

]，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy．由题意知点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），其轨迹方程为x2-

y2

3

=1（y≠0）．
（Ⅱ）由题设条件知

MA

=±λ

MB

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

MA

=（x₁+2，y₁），

MB

=（x₂+2，y₂）设AB：my=x+2，代入x2-

y2

3

=1得，（3m²-1）y²-12my+9=0．所以

y1+y2= 12m 3m2-1 y1y2= 9 3m2-1

．由此入手能够求出直线l与直线MN夹角θ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，
建立直角坐标系xOy． （1分）
∵PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=2
或PM-PN=（PE+EM）-（PF+FN）=MD-ND=-2 （3分）
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线（不包含顶点），
其轨迹方程为x2-

y2

3

=1（y≠0） （5分）
（Ⅱ）∵（

MA

+λ

MB

）•（

MA

-λ

MB

）=0，且λ∈[2-

3

，2+

3

]，
∴

MA

=±λ

MB

，（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

MA

=（x₁+2，y₁），

MB

=（x₂+2，y₂）
设AB：my=x+2，代入x2-

y2

3

=1得，3（my-2）²-y²-3=0，
即（3m²-1）y²-12my+9=0．
∴

y1+y2= 12m 3m2-1 y1y2= 9 3m2-1

（7分）
①当

MA

=λ

MB

时，y₁=λy₂，∴

(1+λ)y2= 12m 3m2-1 (1) λ y 2 2 = 9 3m2-1 (2)

（8分）

(1)2

(2)2

得，

(1+λ)2

λ

=

16m2

3m2-1

，（9分）
∴

16m2

3m2-1

=2+λ+

1

λ

∈[4，6]，即4≤

16m2

3m2-1

≤6．
∴

3m2-1＞0 3m2-1≤4m2 8m2≤9m2-3

解得，m²≥3，故tan²θ≤

1

3

（10分）
②当

MA

=-λ

MB

时y₁=-λy₂，∴

(1-λ)y2= 12m 3m2-1 (3) -λ y 2 2 = 9 3m2-1 (4)

（11分）

(3)2

(4)2

得，

(1-λ)2

-λ

=

16m2

3m2-1

，即2-(λ+

1

λ

)=

16m2

3m2-1

．
∵λ∈[2-

3

，2+

3

]，λ+

1

λ

∈[2，4]
∴2-(λ+

1

λ

)∈[-2，0]，即-2≤

16m2

3m2-1

≤0．
∴

3m2-1＜0 3m2-1≤-8m2

即m2≤

1

11

，故tan²θ≥11． （13分）
由①、②得tan²θ≤

1

3

或tan²θ≥11．
则夹角θ∈（0，

π

6

]∪arctan

11

，

π

2

），（14分）
∵tanθ不存在时，直线l符合条件，故θ=

π

2

时，符合题意．
∴θ∈（0，

π

6

]∪[arctan

11

，

π

2

）． （15分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．