Question

设S是由满足下列两个条件的实数组成的集合：
①不含1；
②a∈S，则

1

1-a

∈S．
问：
（Ⅰ）如果2∈S，研究S中元素个数，并求出这些元素；
（Ⅱ）集合S中元素的个数能否只有一个？

Answer 1

分析：（Ⅰ）如果2∈S，根据条件进行递推即可确定其他元素；
（Ⅱ）利用集合S中元素的个数能只有一个，得到方程

1

1-a

=a只有一解即可，考查方程解的情况．

解答：解：（Ⅰ）如果2∈S，根据条件得

1

1-2

=-1∈S，

1

1-(-1)

=

1

2

∈S，

1

1- 1 2

=2∈S，

1

1-2

=-1∈S，此时元素进行循环，所以集合中还有元素-1，

1

2

．
所以集合中的元素为-1，2，

1

2

．
（Ⅱ）若集合S中元素的个数只有一个，则方程

1

1-a

=a有解，得a²-a+1=0，但该方程无解．
故集合S中元素的个数不可能只有一个元素．

点评：本题主要考查集合元素的判断和推导，考查学生的分析能力．