题目内容

已知A（4，0），N（1，0），若点P满足 $数学公式$ • $数学公式$ =6| $数学公式$ |．
（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
（2）求| $数学公式$ |的取值范围；
（3）若M（-1，0），求∠MPN在[0，π]上的取值范围．

解：（1）设P（x，y）， $\text{[math]}$ =（x-4，y）， $\text{[math]}$ =（1-x，-y）， $\text{[math]}$ =（-3，0），
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =6||，
∴-3（x-4）=6 $\text{[math]}$ ，即3x²+4y²=12．
∴ $\text{[math]}$ =1．∴P点的轨迹是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．
（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，
设P（x₀，y₀），P到右准线的距离为d，d=4-x₀， $\text{[math]}$ =e= $\text{[math]}$ ，|PN|= $\text{[math]}$ d= $\text{[math]}$ ．
∵-2≤x₀≤2，∴1≤|PN|≤3．
当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（-2，0）．
（3）令|PN|=t（1≤t≤3），
则|PM|=4-t，|MN|=2，
cos∠MPN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-1+ $\text{[math]}$ ．
由1≤t≤3，得3≤t（4-t）≤4，
∴ $\text{[math]}$ ≤cos∠MPN≤1，
∴0≤∠MPN≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设出点P（x，y），将 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =6| $\text{[math]}$ |用坐标表示出来整理即得点P的轨迹方程；
（2）利用椭圆的第二定义建立关于| $\text{[math]}$ |的等式，将| $\text{[math]}$ |用坐标表示出来，即将| $\text{[math]}$ |表示成P的坐标的函数，利用函数的性质求即可．
（3）用余弦定理将∠MPN的余弦值表示成关于| $\text{[math]}$ |的函数，用函数的性质求求出角的取值范围．
点评：本题是递进式的一个题，此特点是后一问要用上前一问的结论，环环相扣，相当紧凑，本题运算量比较大，符号运算较多．