Question

本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区am²的老房子进行平改坡．且每年平改坡面积的百分比相等，若改造到面积的一半时，所用时间需10年．已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的

2

2

．
（1）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？
（2）若通过技术创新，至少保留

a

4

 m2的老房子开辟新的改造途径．今后最多还需平改坡多少年？

Answer 1

分析：（1）设每年平改坡的百分比为b（0＜b＜1），根据若改造到面积的一半时，所用时间需10年建立等式关系求出1-b，然后设到今年为止，该工程已经进行了x年，建立等式关系，解之即可求出x，得到答案；
（2）设今后最多还需平改坡y年，然后根据至少保留

a

4

 m2的老房子建立等式，解指数方程即可．

解答：解：（1）设每年平改坡的百分比为b（0＜b＜1），则a (1-b)10=

1

2

a⇒1-b=(

1

2

)

1

10

．
设到今年为止，该工程已经进行了x年，则a (1-b)x=

2

2

a⇒(

1

2

)

x

10

=(

1

2

)

1

2

⇒x=5．
故到今年为止，该工程已经进行了5年．
（2）设今后最多还需平改坡y年，则a (1-b)y+5=

1

4

a⇒(

1

2

)

y+5

10

=(

1

2

)2⇒y=15．
故今后最多还需平改坡15年．

点评：本题主要考查了数列的应用，以及指数方程的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．