题目内容
设常数a≥0,函数f(x)=x-(lnx)2+2alnx-1.
(1)若f(x)在x=1处的切线为3ax-y+b=0,求a、b的值;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(1)若f(x)在x=1处的切线为3ax-y+b=0,求a、b的值;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
分析:(1)利用导数的几何意义,可求得f′(1)=1+2a=3a,从而可求得a的值,继而可求得b的值;
(2)依题意,可求得f′(x)=1-2lnx•
+
(x>0),通过导数法对f′(x)=1-2lnx•
+
(x>0)的探究,可求得f′(x)min=1-
>0,从而可证结论.
(2)依题意,可求得f′(x)=1-2lnx•
1 |
x |
2 |
x |
1 |
x |
2 |
x |
2 |
e2 |
解答:解:(1)∵f(x)=x-(lnx)2+2alnx-1,
∴f′(x)=1-2lnx•
+
,
∵f(x)在x=1处的切线为3ax-y+b=0,
∴f′(1)=1+2a=3a,
∴a=1;
又a=1时,f(1)=0,即(1,0)在切线3x-y+b=0上,
∴b=-3,
∴f(x)=f(x)=x-(lnx)2+2lnx-1.
(2)∵f′(x)=1-2lnx•
+
(x>0),
∴f″(x)=-2(
)-
=
+
,
令f″(x)=0得:x=e2,
当0<x<e2时,f″(x)<0,f′(x)=1-2lnx•
+
在(0,e2)上单调递减,
当x>e2时,f″(x)>0,f′(x)=1-2lnx•
+
在(e2,+∞)上单调递增,
∴x=e2时,f′(x)取得最小值,即f′(x)min=1-
+
=1-
>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∴f′(x)=1-2lnx•
1 |
x |
2a |
x |
∵f(x)在x=1处的切线为3ax-y+b=0,
∴f′(1)=1+2a=3a,
∴a=1;
又a=1时,f(1)=0,即(1,0)在切线3x-y+b=0上,
∴b=-3,
∴f(x)=f(x)=x-(lnx)2+2lnx-1.
(2)∵f′(x)=1-2lnx•
1 |
x |
2 |
x |
∴f″(x)=-2(
1-lnx |
x2 |
2 |
x2 |
4 |
x2 |
2lnx |
x2 |
令f″(x)=0得:x=e2,
当0<x<e2时,f″(x)<0,f′(x)=1-2lnx•
1 |
x |
2 |
x |
当x>e2时,f″(x)>0,f′(x)=1-2lnx•
1 |
x |
2 |
x |
∴x=e2时,f′(x)取得最小值,即f′(x)min=1-
4 |
e2 |
2 |
e2 |
2 |
e2 |
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
点评:本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查利用导数研究函数的单调性,突出对二阶导数的研究,属于难题.
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