Question

已知向量

x

=（1，t²-3 ），

y

=（-k，t） （其中实数k和t不同时为零），当|t|＜2时，有

x

⊥

y

，当|t|＞2时，有

x

∥

y

．
（1）求函数关系式k=f （t ）；
（2）求函数f （t ）的单调递减区间；
（3）求函数f （t ）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的充要条件及向量共线的充要条件列出关于k，t的方程，分离出k即为函数关系式k=f （t ）；
（2）分段求出函数的导函数，求出导函数小于0的x的范围，写出区间形式即得到函数f （t ）的单调递减区间．
（3）利用（2）求出函数的极值．再求出区间的两个端点的函数值，选出最值．

解答：解：（1）当|t|＜2时，由

x

⊥

y

得：

x

•

y

=-k+（t²-3）t=0，
得k=f（t）=t³-3t（|t|＜2）
当|t|＞2时，由

x

∥

y

得：k=

-t

t2-3

所以k=f（t）=

t3-3t当-2≤t≤2时 t 3-t2 当t＜-2或t＞2时

（5分）
（2）当|t|＜2时，f′（t）=3t²-3，由f′（t）＜0，得3t²-3＜0
解得-1＜t＜1，
当|t|＞2时，f′（t）=

(3-t2)-t(-2t)

(3-t2)2

=

3+t2

(3-t2)2

＞0
∴函数f（t）的单调递减区间是（-1，1）．（4分）
（3）当|t|＜2时，由f′（t）=3t²-3=0得t=1或t=-1
∵1＜|t|＜2时，f′（t）＞0
∴f（t）_极大值=f（-1）=2，f（t）_极小值=f（1）=-2
又f（2）=8-6=2，f（-2）=-8+6=-2
当t＞2时，f（t）=

-t

t2-3

＜0，
又由f′（t）＞0知f（t）单调递增，∴f（t）＞f（2）=-2，
即当t＞2时，-2＜f（t）＜0，
同理可求，当t＜-2时，有0＜f（t）＜2，
综合上述得，当t=-1或t=2时，f（t）取最大值2
当t=1或t=-2时，f（t）取最小值-2（5分）

点评：求分段函数的单调区间及极值、最值应该分段求，再选出最值．