题目内容

如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥面ABCD,E,F是PA和AB的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面PBC;
(Ⅱ)若PC=2,求PA与平面PBC所成角的正弦值.
分析:(I)欲证EF∥平面PBC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PBC内一直线平行,而EF∥PB,又EF?平面PBC,PB?平面PBC,满足定理所需条件;
(II)过A作AH⊥BC于H,连接PH,则∠APH为PA与平面PBC所成的角,利用sin∠APH=
AH
PA
,可得结论.
解答:(I)证明:∵E,F是PA和AB的中点,
∴AE=PE,AF=BF,
∴EF∥PB
又EF?平面PBC,PB?平面PBC,
故EF∥平面PBC;
(II)解:过A作AH⊥BC于H,连接PH
∵PC⊥面ABCD,AH?面ABCD,
∴PC⊥AH
∵PC∩BC=C
∴AH⊥平面PBC
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角
∵边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴△ABC为正三角形
∵AH⊥BC
∴H为BC的中点,AH=
3

∵PC=AC=2,∴PA=2
2

∴sin∠APH=
AH
PA
=
6
4

∴PA与平面PBC所成角的正弦值为
6
4
点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网