题目内容
（2011•西城区二模）已知椭圆M：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
分析：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4
，根据椭圆的几何性质得出2a+2c的值，又椭圆的离心率即可求得a，c，所以b=1，最后写出椭圆M的方程；
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．
| 2 |
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．
解答：解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4
，
所以2a+2c=6+4
，
又椭圆的离心率为
，即
=
，所以c=
a，…（2分）
所以a=3，c=2
．
所以b=1，椭圆M的方程为
+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由
消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0，…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有y1+y2=-
，y1y2=
．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过点C，所以
•
=0．
由
=(x1-3，y1)，
=(x2-3，y2)，
得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（7分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 （k2+1）y1y2+k（m-3）（y1+y2）+（m-3）2=0．
将 ①代入上式，解得 m=
或m=3（舍）．…（8分）
所以m=
，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=
则有S△ABC=
|DC||y1-y2|=
×
=
．…（10分）
设t=
，0＜t≤
，则S△ABC=
．
所以当t=
∈(0，
]时，S△ABC取得最大值
．…（12分）
| 2 |
所以2a+2c=6+4
| 2 |
又椭圆的离心率为
2
| ||
| 3 |
| c |
| a |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
所以a=3，c=2
| 2 |
所以b=1，椭圆M的方程为
| x2 |
| 9 |
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有y1+y2=-
| 2km |
| k2+9 |
| m2-9 |
| k2+9 |
因为以AB为直径的圆过点C，所以
| CA |
| CB |
由
| CA |
| CB |
得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（7分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 （k2+1）y1y2+k（m-3）（y1+y2）+（m-3）2=0．
将 ①代入上式，解得 m=
| 12 |
| 5 |
所以m=
| 12 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
则有S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| (y1+y2)2-4y1y2 |
| 9 |
| 5 |
|
设t=
| 1 |
| k2+9 |
| 1 |
| 9 |
| 9 |
| 5 |
-
|
所以当t=
| 25 |
| 288 |
| 1 |
| 9 |
| 3 |
| 8 |
点评：本题考查椭圆的方程和三角形面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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