Question

（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+c)=-

3

5

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4

2

，b=5，求向量

BA

在

BC

方向上的投影．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用a=4

2

，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量

BA

在

BC

方向上的投影．

解答：解：（Ⅰ）由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+c)=-

3

5

，
可得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-

3

5

，
即cos(A-B+B)=-

3

5

，
即cosA=-

3

5

，
因为0＜A＜π，
所以sinA=

1-cos2A

=

4

5

．
（Ⅱ）由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

，所以sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=

π

4

，
由余弦定理可知(4

2

)2=52+c2-2×5c×(-

3

5

)．
解得c=1，c=-7（舍去）．
向量

BA

在

BC

方向上的投影：|

BA

|cosB=ccosB=

2

2

．

点评：本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．