题目内容

（2012•温州二模）直线l与函数y=3x+
1
x
的图象相切于点P，且与直线x=0和y=3x分别交于A、B两点，则
|AP|
|BP|
=
1
1
．
分析：设P的坐标，求导函数，可得切线方程，进而可求A，B的坐标，从而可求
|AP|
|BP|
的值．
解答：解：设P（a，b），则
∵函数y=3x+
1
x
，∴求导得y′=3-
1
x2

∴切线方程为y-b=（3-
1
a2
）（x-a）
令x=0，则y=b-3a+
1
a
，∵b=3a+
1
a
，∴A（0，
2
a
），
与y=3x联立，则x=2a，B（2a，6a）
∴
|AP|
|BP|
=
a2+(3a-
1
a
)2
(2a-a)2+(3a+
1
a
-6a)2
=
a2+(3a-
1
a
)2
a2+(3a-
1
a
)2
=1
故答案为1．
点评：本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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1
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