Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆T经过．
（I）求椭圆T的标准方程；
（II）椭圆T上是否存在点E（m，n）使得直线l：x=my+n交椭圆于M，N两点，且？若存在求出点E坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

解：（I）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）
将坐标代入方程，得，∴，
∴椭圆的方程为…（4分）
（II）联立方程，消去x可得（m²+3）y²+2mny+n²-3=0，
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
∴…（6分）
∴，即y₁y₂+（my₁+n）（my₂+n）=0
所以，
将韦达代入上式，化简得：4n²=3（m²+1）①…（8分）
又点E（m，n）在椭圆上，∴，∴②
由①②得，
所以…（12分）
分析：（I）设椭圆方程为mx²+ny²=1，将坐标代入方程，即可求得椭圆的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆轭标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．