题目内容
本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
从数列中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列的一个子数列.
设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列.
(1)若,,成等比数列,求其公比.
(2)若,从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项,试问该数列是否为的无穷等比子数列,请说明理由.
(3)若,从数列中取出第1项、第项(设)作为一个等比数列的第1项、第2项.求证:当为大于1的正整数时,该数列为的无穷等比子数列.
【答案】
(1)解:由题设,得,即,得,又,于是,故其公比.
(2)解:设等比数列为,其公比,,(6分)
由题设.
假设数列为的无穷等比子数列,则对任意自然数,都存在,使,
即,得,(8分)
当时,,与假设矛盾,
故该数列不为的无穷等比子数列.
(3)即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项.
在等比数列中,,(12分)
在等差数列中,,,(14分)
若为数列中的第项,则由,得,
整理得,(16分)
由,均为正整数,得也为正整数,
故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项,得证.
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