Question

已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4

2

，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线l₁与圆C交于M、N两点，当P恰为MN的中点时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．

Answer 1

分析：（1）利用直线l的斜率存在与不存在两种情况，通过圆心到直线的距离，半弦长，半径满足勾股定理，即可求直线l的方程；
（2）求出CP，通过弦心距、半径、半弦长的关系，求出弦长就是直径，即可求以线段MN为直径的圆Q的方程．

解答：解：（1）设直线l的斜率为k（k存在），
则方程为y-0=k（x-2）．即kx-y-2k=0
又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，
由题意知

|3k+2-2k|

k2+1

=

32-(2 2 )2

=1，解得k=-

3

4

．…（3分）
所以直线方程为y=-

3

4

(x-2)，
即 3x+4y-6=0．…（4分）
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件．…（6分）
所以直线l的方程为x=2或3x+4y-6=0…（7分）
（2）由于|CP|=

5

，…（8分）  
所以弦心距d=

r2-( |MN| 2 )2

=

5

，则|MN|=4…（10分）
故以MN为直径的圆Q的方程为（x-2）²+y²=4．…（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切，相交，直线的交点，弦的中点，三角形的面积的最值直线方程等有关知识，考查计算能力，转化思想，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，是易错点．