题目内容

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(1)求证:PA⊥平面ABCDE;
(2)求异面直线CD与PB所成角的大小;
(3)求二面角A-PD-E的大小.
分析:(1)要证明PA⊥平面ABCDE,只需证明PA⊥AB,PA⊥AE,AB∩AE=A,通过定理即可得到结论;
(2)说明∠PBE即为异面直线CD与PB所成角的大小,通过三角形即可得到结果;
(3)如图,过A作AG⊥PE于G,过G作GH⊥PD于H,连接AH,说明∠AHG为二面角A-PD-E的平面角,在Rt△AHG中,求出二面角A-PD-E的大小.
(2)说明∠PBE即为异面直线CD与PB所成角的大小,通过三角形即可得到结果;
(3)如图,过A作AG⊥PE于G,过G作GH⊥PD于H,连接AH,说明∠AHG为二面角A-PD-E的平面角,在Rt△AHG中,求出二面角A-PD-E的大小.
解答:
解:(1)∵PA=AE=2a,PB=PE=2
a
∴PA2+AB2=PB2,
∴∠PAB=90°,
即PA⊥AB
同理PA⊥AE
∵AB∩AE=A,
∴PA⊥平面ABCDE
(2)由CD∥BE,
则∠PBE即为所求角
又PB=PE=BE=2
a
∴∠PBE=60°
(3)∵∠AED=90°,
∴AE⊥ED
∵PA⊥平面ABCDE,
∴PA⊥ED
∴ED⊥平面PAE
如图,过A作AG⊥PE于G,
∴DE⊥AG,
∴AG⊥平面PDE
过G作GH⊥PD于H,连接AH,
由三垂线定理得AH⊥PD
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角
在Rt△PAE中,AG=
a,
在Rt△PAD中,AH=
a
∴在Rt△AHG中,sin∠AHG=
=
∴∠AHG=arcsin
∴二面角A-PD-E的大小为arcsin
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
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∴PA2+AB2=PB2,
∴∠PAB=90°,
即PA⊥AB
同理PA⊥AE
∵AB∩AE=A,
∴PA⊥平面ABCDE
(2)由CD∥BE,
则∠PBE即为所求角
又PB=PE=BE=2
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∴∠PBE=60°
(3)∵∠AED=90°,
∴AE⊥ED
∵PA⊥平面ABCDE,
∴PA⊥ED
∴ED⊥平面PAE
如图,过A作AG⊥PE于G,
∴DE⊥AG,
∴AG⊥平面PDE
过G作GH⊥PD于H,连接AH,
由三垂线定理得AH⊥PD
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角
在Rt△PAE中,AG=
2 |
在Rt△PAD中,AH=
2
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∴在Rt△AHG中,sin∠AHG=
AG |
AH |
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∴∠AHG=arcsin
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10 |
∴二面角A-PD-E的大小为arcsin
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点评:本题是中档题,考查直线与平面的垂直,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角的求法,考查空间想象能力,计算能力,转化思想.
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