Question

已知以点C（t，

2

t

）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．
（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．

解答：解：（1）∵圆C过原点O，
∴OC²=t²+

4

t2

，
则圆C的方程是（x-t）²+（y-

2

t

）²=t²+

4

t2

，
令x=0，得y₁=0，y₂=

4

t

，
令y=0，得x₁=0，x₂=2t
∴S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

×|

4

t

|×|2t|=4，
即：△OAB的面积为定值；
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分线段MN，
∵k_MN=-2，∴k_oc=

1

2

，
∴直线OC的方程是y=

1

2

x，
∴

2

t

=

1

2

t，解得：t=2或t=-2，
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=

5

，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=

1

5

＜

5

，
圆C与直线y=-2x+4相交于两点，
当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），OC=

5

，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=

9

5

＞

5

，
圆C与直线y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合题意舍去，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．